Question

探究題：
數(shù)學問題：各邊長都是整數(shù)，最大邊長為21的三角形有多少個？
為解決上面的數(shù)學問題，我們先研究下面的數(shù)學模型：
數(shù)學模型：在1～21這21個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于21，有多少種不同取法？
為找到解決問題的方法，我們把上面數(shù)學模型簡單化．
（1）在1～4這4個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于4，有多少種取法？
根據(jù)題意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3，而1+4與4+1，2+3與3+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1+2+2+3

2

=4=

42

4

種不同的取法．
（2）在1～5這5個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于5，有多少種取法？
根據(jù)題意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5與5+1，2+4與4+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1+2+2+3+4

2

=6=

52-1

4

種不同的取法．
（3）在1～6這6個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于6，有多少種不同的取法？
根據(jù)題意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5，而1+6與6+1，2+5與5+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1+2+3+3+4+5

2

=9=

62

4

種不同的取法．
（4）在1～7這7個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于7，有多少種取法？
根據(jù)題意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6，而1+7與7+1，2+6與6+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1+2+3+3+4+5+6

2

=12=

72-1

4

種不同的取法…
問題解決
仿照上述研究問題的方法，解決上述數(shù)學模型和提出的問題
（1）在1～21這21個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于21，共有

 

種不同取法；（只填結果）
（2）在1～n（n為偶數(shù)）這n個自然數(shù)中，每次取兩個數(shù)，使得所取的兩個數(shù)字之和大于n，共有

 

種不同取法；（只填最簡算式）
（3）在1～n（n為奇數(shù)）這n個自然數(shù)中，每次取兩個數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于n，共有

 

種不同取法；（只填最簡算式）
（4）各邊長都是整數(shù)且不相等，最大邊長為21的三角形有多少個？（寫出最簡算式和結果，不寫分析過程）

Answer 1

分析：（1）-（3）根據(jù)上述規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：在1～n（n為偶數(shù)）這n個自然數(shù)中，每次取兩個數(shù)，使得所取的兩個數(shù)字之和大于n，共有

1+2+…+ n 2 + n 2 +…+n-1

2

=

n2

4

種不同取法；在1～n（n為奇數(shù)）這n個自然數(shù)中，每次取兩個數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于n，共有

1+2+…+ n-1 2 + n-1 2 +…+n-1

2

=

n2-1

4

種不同取法；
（4）根據(jù)三角形三邊關系，即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，則各邊長都是整數(shù)，最大邊長為21的三角形的個數(shù)和（1）相同．

解答：解：根據(jù)題意，得
（1）在1～21這21個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于21，共有

212-1

4

=110種不同取法；
（2）在1～n（n為偶數(shù)）這n個自然數(shù)中，每次取兩個數(shù)，使得所取的兩個數(shù)字之和大于n，共有

1+2+…+ n 2 + n 2 +…+n-1

2

=

n2

4

種不同取法；
（3）在1～n（n為奇數(shù)）這n個自然數(shù)中，每次取兩個數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于n，共有

1+2+…+ n-1 2 + n-1 2 +…+n-1

2

=

n2-1

4

種不同取法；
（4）根據(jù)三角形三邊關系，即相當于在1～21這21個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于21，和（1）的解答方法相同．
故答案為110；

n2

4

；

n2-1

4

．

點評：此題考查了一道數(shù)字規(guī)律的問題和三角形的三邊關系，能夠從特殊推廣到一般．