Question

圖形既關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于直線(xiàn)AC，BD對(duì)稱(chēng)，AC=10，BD=6，已知點(diǎn)E，M是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)O到EF，MN的距離分別為h₁，h₂，△OEF與△OGH組成的圖形稱(chēng)為蝶形．
（1）求蝶形面積S的最大值；
（2）當(dāng)以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時(shí)，求h₁與h₂滿(mǎn)足的關(guān)系式，并求h₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，得四邊形ABCD是菱形，根據(jù)EF∥BD，求證△ABD∽△AEF，然后利用其對(duì)邊成比例求得EF，然后利用三角形面積公式即可求得蝶形面積S的最大值．
（2）根據(jù)題意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB關(guān)于OR對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段為OS，①當(dāng)點(diǎn)E，M不重合時(shí)，則OE，OM在OR的兩側(cè)，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段求得

h1

5

+

h2

5

=

9

17

即可知h₁的取值范圍；②當(dāng)點(diǎn)E，M重合時(shí)，則h₁=h₂，此時(shí)可知h₁的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，得四邊形ABCD是菱形．
∵EF∥BD，
∴△ABD∽△AEF，
∴

EF

6

=

5-h1

5

，即EF=

6

5

(5-h1)
∴S=2S△OEF=EF×h1=

6

5

(5-h1)×h1=-

6

5

(h1-

5

2

)2+

15

2

所以當(dāng)h1=

5

2

時(shí)，Smax=

15

2

．

（2）根據(jù)題意，得OE=OM．
如圖，作OR⊥AB于R，OB關(guān)于OR對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段為OS，
①當(dāng)點(diǎn)E，M不重合時(shí)，則OE，OM在OR的兩側(cè)，易知RE=RM．
∵AB=

52+32

=

34

，
∴OR=

15

34

，
∴BR=

32-( 15 34 )2

=

9

34

由ML∥EK∥OB，
得

OK

OA

=

BE

AB

，

OL

OA

=

BM

AB

∴

OK

OA

+

OL

OA

=

BE

AB

+

BM

AB

=

2BR

AB

，
即

h1

5

+

h2

5

=

9

17

∴h1+h2=

45

17

，此時(shí)h₁的取值范圍為0＜h1＜

45

17

且h1≠

45

34

，
②當(dāng)點(diǎn)E，M重合時(shí)，則h₁=h₂，此時(shí)h₁的取值范圍為0＜h₁＜5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，有一定的拔高難度，屬于難題．