Question

如圖，已知一次函數(shù)y₁=kx+b圖象與x軸相交于點A，與反比例函數(shù)的圖象相交于B（-1，5）、C（，d）兩點．點P（m，n）是一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象上的動點．
（1）求k、b的值；
（2）設(shè)-1＜m＜，過點P作x軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點D．試問△PAD的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)m=1-a，如果在兩個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）B、C兩點在反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的橫縱坐標的積相等，可求d的值，將B、C兩點坐標代入y₁=kx+b中，列方程組可求k、b的值；
（2）存在，根據(jù)直線解析式可求A點坐標，點P在直線上，點P（，n），PD∥x軸，則D、P的縱坐標都是n，此時，D（-，n），則PD=+，由S=•n•PD，可求△PAD的面積表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值；
（3）點P（m，n）在一次函數(shù)圖象上，由一次函數(shù)解析式可知，設(shè)m=1-a，則P（1-a，2a+1），依題意m≠n，可知a≠0，根據(jù)a＞0和a＜0兩種情況，分別求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）將B點的坐標代入y₂=，得c=-5，
則y₂=-，
把x=代入得y=-2，
則C（，-2）
將B、C代入直線y₁=kx+b得：；

（2）存在．
令y₁=0，x=，則A的坐標是：（，0）；
由題意，點P在線段AB上運動（不含A，B），
設(shè)點P（，n），
∵DP平行于x軸，
∴D、P的縱坐標都是n，
∴D的坐標是：（-，n），
∴S=•n•PD=（+）×n=-（n-）²+；
而-2m+3=n，得0＜n＜5；
所以由S關(guān)于n的函數(shù)解析式，所對應(yīng)的拋物線開口方向決定，當n=，即P（，），S的最大值是：．

（3）由已知P（1-a，2a+1），易知，m≠n，1-a≠2a+1，a≠0；
若a＞0，m＜1＜n，由題設(shè)m≥0，n≤2，
則，
解不等式組的解集是：0＜a≤；
若a＜0，n＜1＜m，由題設(shè)n≥0，m≤2，
則，
解得：-≤a＜0；
綜上：a的取值范圍是：-≤a＜0，0＜a≤．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的橫縱坐標積相等求C點坐標，由“兩點法”求直線解析式，根據(jù)平行于x軸直線上點的坐標特點，表示三角形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值，本題還考查了分類討論的思想．