Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點D是線段BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交AB、AC于點F、G，連接BE．
（1）若△ABC的面積是1，則△ADE的最小面積為______；
（2）求證：△AEB≌ADC；
（3）探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由．

Answer 1

證明：（1）由題意得當AD⊥BC時，AD最小；
此時AD：AB=：2
∵△ABC的面積是1，
∴△ADE的最小面積為；

（2）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC．

（3）方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形．

方法二：證出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．
由①得△AEB≌△ADC．得BE=CG．
∴四邊形BCGE是平行四邊形．
分析：（1）根據(jù)題意得當AD最小時三角形AED的面積最小，當AD為BC邊上的高時AD最短，首先求得AD的長然后求得面積即可；
（2）利用等邊三角尺是性質(zhì)得到AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，然后得到∠EAB=∠DAC，從而證明兩個三角形全等；
（3）根據(jù)全等三角形得到∠ABE=∠BAC，從而得到EB∥GC．再根據(jù)EG∥BC判定四邊形BCGE是平行四邊形即可．
點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的判定，考查的知識點比較多，但難度不算很大．