【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長為4, O的中心, FOG = 120°, 繞點O旋轉(zhuǎn)∠FOG,分別交線段ABBCD、 E兩點,連接DE,給出下列四個結(jié)論:OD= OE;;③四邊形ODBE的面積始終等于;周長的最小值為6.上述結(jié)論中正確的有_________(寫出序號)

【答案】①③④

【解析】

連接OBOC,如圖,利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABO=OBC=OCB=30°,再證明∠BOD=COE,于是可判斷△BOD≌△COE,所以BD=CE,OD=OE,則可對①進(jìn)行判斷;利用SBOD=SCOE得到四邊形ODBE的面積=SABC=,則可對③進(jìn)行判斷;作OHDE,如圖,則DH=EH,計算出SODE=OE2,利用SODEOE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進(jìn)行判斷;由于△BDE的周長=BC+DE=4+DE=4+OE,根據(jù)垂線段最短,當(dāng)OEBC時,OE最小,△BDE的周長最小,計算出此時OE的長則可對④進(jìn)行判斷.

解:連接OB、OC,如圖,


∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ABC=ACB=60°,
∵點O是△ABC的中心,
OB=OC,OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB,
∴∠ABO=OBC=OCB=30°
∴∠BOC=120°,即∠BOE+COE=120°,
而∠DOE=120°,即∠BOE+BOD=120°,
∴∠BOD=COE,
在△BOD和△COE

∴△BOD≌△COE
BD=CE,OD=OE,所以①正確;
SBOD=SCOE,
∴四邊形ODBE的面積=SOBC==SABC==,所以③正確;

OHDE,如圖,則DH=EH,
∵∠DOE=120°,
∴∠ODE=OEH=30°,
OH=OEHE=OH=OE,
DE=OE
SODE=OEOE=OE2,
SODEOE的變化而變化,
而四邊形ODBE的面積為定值,
SODESBDE;所以②錯誤;
BD=CE,
∴△BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE,
當(dāng)OEBC時,OE最小,△BDE的周長最小,此時OE= ,
∴△BDE周長的最小值=4+2=6,所以④正確.

故答案為:①③④

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