Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O是△ADC的外接圓，過(guò)點(diǎn)O作PO⊥AB，交AC于點(diǎn)E，PC的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠PEC=∠PCE．
（1）求證：FC為⊙O的切線；
（2）若△ADC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，求AB的長(zhǎng)．（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵OA=OC（⊙O的半徑），

∴∠EAO=∠ECO（等邊對(duì)等角）．

∵PO⊥AB，∴∠EAO+∠AEO=90°（直角三角形中的兩個(gè)銳角互余）．

∵∠PEC=∠PCE（已知），∠PEC=∠AEO（對(duì)頂角相等）

∴∠AEO=∠PCE（等量代換），

∴∠PCO=∠ECO+∠PCE=∠EAO+∠AEO=90°．即OC⊥FC，

∵點(diǎn)C在⊙O上，

∴FC為⊙O的切線

（2）解：連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

∵△ADC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，

∴∠ABC=∠D=60°，AC=a．

在Rt△ACB中，∵sin∠ABC=

∴AB= = a．

【解析】（1）連接OC．欲證FC為⊙O的切線，只需證明OC⊥FC即可；（2）連接BC．由等邊三角形的性質(zhì)、“同弧所對(duì)的圓周角相等”推知∠ABC=∠ADC=60°；然后在直角△ABC中利用正弦三角函數(shù)的定義來(lái)求AB線段的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)和切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．