Question

已知：如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在DC，AB邊上，且點(diǎn)A、F、C在以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑的圓上，連接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，設(shè)BC=x，AF=y．
（1）求證：∠CAB=∠CEG；
（2）①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式． ②x=

 

時(shí)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)F是

AC

的中點(diǎn)，以A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是何種特殊四邊形？試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接EF，由于EG經(jīng)過(guò)圓心E，且與弦CF垂直，由垂徑定理知∠CEF=2∠CEG，而圓周角∠CAF和圓心角∠CEG所對(duì)的弧正好相同，由圓周角定理知∠CEG=2∠CAF，由此得證；
（2）①設(shè)⊙O的半徑為r，連接EA、EF；由于EA=EF，那么E點(diǎn)在AF的垂直平分線上，因此AF=2DE，即y=2（6-r），所以只需求出r、x的關(guān)系式即可；Rt△ADE中，AD=x，用r可表示出AE、DE的長(zhǎng)，即可由勾股定理求得r、x的關(guān)系式，由此得解；
②當(dāng)F是AB中點(diǎn)時(shí)，AF=y=3，將其代入①的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得x的值；
（3）當(dāng)F是弧AC的中點(diǎn)時(shí)，EF垂直平分AC，可得AE=EC，AF=FC；易知∠AEF=∠CEF，而∠CEF和∠AFE是平行線的內(nèi)錯(cuò)角，等量代換后可得∠AEF=∠AFE=∠FAE，由此可證得△EAF是正三角形，由此可證得四邊形AECF的四邊都相等，即四邊形AECF是菱形；此時(shí)∠CFB=∠EAF=60°，在Rt△CFB中，易知BF=

1

2

CF，而AF=FC，那么BF即為AF的一半、AB的三分之一，由此可求得BF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到BC（即x）的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：連接EF（如圖1）
∵點(diǎn)A、F、C在以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑的圓上，
∴EF=EC，∵EG⊥CF，∴∠CEF=2∠CEG
∵∠CEF=2∠CAB，∴∠CAB=∠CEG；（3分）

（2）（如圖2）
①連接EF、EA．設(shè)⊙E的半徑為r；
在Rt△ADE中，EA=r，DE=6-r，AD=x，
∴x²+（6-r）²=r²，r=

1

12

x²+3，
∵EF=EA，∴AF=2DE，
即y=2（6-r）=-

1

6

x²+6，（6分）
②點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)時(shí)，y=3，
即-

1

6

x²+6=3，∴x=3

2

；（8分）

（3）（如圖3）；
當(dāng)x=2

3

時(shí)，F(xiàn)是弧AC的中點(diǎn)．此時(shí)四邊形AECF菱形；（9分）
理由如下：
∵點(diǎn)F是弧AC的中點(diǎn)，∴∠AEF=∠CEF，AF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AE=EF，
∴AE=AF=CE=CF，∴△AEF和△CEF都是正三角形，
∴四邊形AECF是菱形，且∠CEF=60°，
∴∠BCF=30°，∴BF=

1

2

CF=

1

2

AF=

1

3

AB=2，BC=2

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．