Question

如圖，已知半徑為2的⊙O有兩條互相垂直的弦AB和CD，其交點E到圓心O的距離為1，則AB²+CD²=    ．

Answer 1

【答案】分析：作輔助線“連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N”構造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂徑定理推知，OM²=DO²-DM²=4-（）2、ON²=OA²-AN²=4-（）2，所以OM²+ON²=4-（）2+4-（）2=1，由此解得AB²+CD²=28．
解答：解：連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四邊形OMEN為矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-（）²；
又∵ON²=OA²-AN²=4-（）²，
∴OM²+ON²=4-（）²+4-（）²=1，
∴AB²+CD²=28．
故答案是：28．
點評：本題主要考查了的是垂徑定理和勾股定理．解得該題的關鍵是通過作輔助線構建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性質以及垂徑定理將 AB²+CD²聯(lián)系在同一個等式中，然后根據(jù)代數(shù)知識求解．