Question

（2007•江蘇）如圖，BC是⊙O的直徑，點A在圓上，且AB=AC=4． P為AB上一點，過P作PE⊥AB分別交BC、OA于E、F．
（1）設AP=1，求△OEF的面積；
（2）設AP=a（0＜a＜2），△APF、△OEF的面積分別記為S₁、S₂．
①若S₁=S₂，求a的值；
②若S=S₁+S₂，是否存在一個實數a，使S＜？若存在，求出一個a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知△AOC、△OEF、△AFP均為等腰直角三角形，因此只需求出OF的長就可得出△OEF的面積，在直角三角形AFP中，根據AP=1，可求得AF=，已知了AB、AC的長可求出OA的長，進而可得出OF的長．也就能求出△OEF的面積．
（2）①同（1）可用a表示出△OEF的面積，S₂=a²，然后根據S₁=S₂，可得出關于a的方程，即可求出a的值．
②根據①即可得出關于S，a的函數關系式，然后根據函數的性質即可判斷出是否存在使S＜的值．
解答：解：（1）∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC
∴∠B=∠C=45°，OA⊥BC，
∴∠1=∠B=45°，
∵PE⊥AB
∴∠2=∠1=45°
∴∠4=∠3=45°，
則△APF、△OEF與△OAB均為等腰直角三角形．
∵AP=l，AB=4，
∴AF=，OA=，
∴OE=OF=，
∴△OEF的面積為•OE•OF=1．

（2）①∵FP=AP=a，
∴S₁=a²
且AF=，
∴OE=OF=2-a=（2-a），
∴S2=•OE•OF=（2-a）²
∵S₁=S₂
∴a2=（2-a）²
∴a=4±
∵0＜a＜2
∴．
②S=S₁+S₂=a²+（2-a）²=a²-4a+4=（a-）²+，
∴當時，S取得最小值為，
∵，
∴不存在這樣實數a，使S＜．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質、圖形面積的求法及二次函數的應用，綜合性強．