Question

【題目】已知拋物線E：y2=4x的準線為l，焦點為F，O為坐標原點．
（1）求過點O，F(xiàn)，且與l相切的圓的方程；
（2）過F的直線交拋物線E于A，B兩點，A關于x軸的對稱點為A′，求證：直線A′B過定點．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線E：y2=4x的準線l的方程為：x=﹣1，焦點坐標為F（1，0），

設所求圓的圓心C（a，b），半徑為r，∵圓C過O，F(xiàn)，

∴ ，∵圓C與直線l：x=﹣1相切，

∴ ．

由 ，得 ．

∴過O，F(xiàn)，且與直線l相切的圓的方程為

（2）

解：證明：解法一：依題意知直線AB的斜率存在，設直線AB方程為y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），A′（x1，﹣y1），

聯(lián)立 ，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．

∴ ，x1x2=1．

∵直線BA′的方程為 ，

∴令y=0，得 ．

直線BA′過定點（﹣1，0），

解法二：直線BA′過定點M（﹣1，0）．

證明：依題意知直線AB的斜率存在，設直線AB方程為y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），A′（x1，﹣y1），

聯(lián)立 ，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

∴ ，x1x2=1．

∵ ，

∵x2y1+x1y2+y1+y2=k（x1﹣1）x2+k（x2﹣1）x1+k（x1+x2﹣2）=2kx1x2﹣2k=2k1﹣2k=0．

∴kA′M﹣kBM=0，即kA′M=kBM=0，A′、B、M三點共線，

∴直線BA′過定點（﹣1，0）．

解法三：設直線AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），則A′（x1，﹣y1）．

由 得，y2﹣4my﹣4=0．

∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

∵ ，

∴直線BA′的方程為 ．

∴ = ．

∴直線BA′過定點（﹣1，0）．

【解析】（1）由題意求得焦點及準線方程，即可求得圓心，利用點到直線的距離公式，即可求得半徑，即可求得圓的方程；（2）方法一：設直線AB方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，利用韋達定理，求得直線BA′的方程為，當y=0，求得x=﹣1，則直線BA′過定點（﹣1，0）；方法二：設直線AB方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，利用韋達定理求得kA′M﹣kBM=0，則kA′M=kBM=0，A′、B、M三點共線，則直線BA′過定點（﹣1，0）；方法三：設線AB的方程：x=my+1，求得直線BA′的方程為，利用韋達定理可得y= ，則直線BA′過定點（﹣1，0）．