Question

如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點．P(0，m)是線段OC上一個動點(點C除外)，直線PM交AB的延長線于點D．
【小題1】求點D的坐標(用含m的代數(shù)式表示)；
【小題2】當△ADP是等腰三角形時，求m的值；
【小題3】設(shè)過點P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H(如圖2)．當點P從原點O向點C運動時，點H也隨之運動．請直接寫出點H所經(jīng)過的路徑長(不寫解答過程)．

Answer 1

【小題1】點D的坐標為（2，4－m）
【小題2】m的值為或或
【小題3】點H所經(jīng)過的路徑長為解析:
解：⑴由題意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2－m，AD=4－m,
∴點D的坐標為（2，4－m）.
⑵分三種情況
① 

y

x

M

D

B

P

C

O

A

若AP=AD，則4＋m²=(4－m)²，解得

② 若PD=PA

F

過P作PF⊥AB于點F（如圖），

則AF=FD=AD=（4－m）
又OP=AF，
∴  
③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=PD=AD=（4－m）,
∵PC²＋CM²=PM²，
∴
解得(舍去)。
綜上所述，當△APD是等腰三角形時，m的值為或或
⑶點H所經(jīng)過的路徑長為