Question

如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)．P(0，m)是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C除外)，直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
【小題1】求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；
【小題2】當(dāng)△ADP是等腰三角形時(shí)，求m的值；
【小題3】設(shè)過(guò)點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H(如圖2)．當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(不寫解答過(guò)程)．

Answer 1

【小題1】點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4－m）
【小題2】m的值為或或
【小題3】點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為解析:
解：⑴由題意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2－m，AD=4－m,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4－m）.
⑵分三種情況
① 

y

x

M

D

B

P

C

O

A

若AP=AD，則4＋m²=(4－m)²，解得

② 若PD=PA

F

過(guò)P作PF⊥AB于點(diǎn)F（如圖），

則AF=FD=AD=（4－m）
又OP=AF，
∴  
③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=PD=AD=（4－m）,
∵PC²＋CM²=PM²，
∴
解得(舍去)。
綜上所述，當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，m的值為或或
⑶點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為