Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)邊長(zhǎng)AB長(zhǎng)為6，BC長(zhǎng)為10的矩形紙片ABCD，B點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合．將紙片沿著折痕AE翻折后，點(diǎn)D恰好落在x軸上，記為F．
（1）求折痕AE所在直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)D，F(xiàn)的直線解析式；
（3）將矩形ABCD水平向右移動(dòng)m個(gè)單位，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（m，0），其中m＞0．如圖2所示，連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=6，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折疊對(duì)稱性：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF===8，
∴CF=2，
設(shè)EC=x，則EF=6-x，
在Rt△ECF中，2²+x²=（6-x）²，
解得：x=，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（10，），
∴設(shè)AE所在直線解析式為：y=ax+b，
則，
解得：，
∴AE所在直線解析式為：y=-x+6，
當(dāng)y=0時(shí)，x=18，
故折痕AE所在直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為：（18，0）；

（2）設(shè)D，F(xiàn)所在直線解析式為：y=kx+c，
∵BF=8，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（8，0），
將D，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得：
，
解得：，
∴過(guò)D，F(xiàn)的直線解析式為：y=3x-24；

（3）分三種情況討論：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴BO=BF=8，
∴m=8，
若OF=FA，則m+8=10，
解得：m=2，
若AO=OF，在Rt△AOB中，
AO²=OB²+AB²=m²+36，
∴（m+8）²=m²+36，
解得：m=-（m＜0不合題意舍去），
綜上所述，若△OAF是等腰三角形，m的值為m=8或2．
分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形以及由折疊對(duì)稱性得出AF=AD=10，EF=DE，進(jìn)而求出BF的長(zhǎng)，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出AE所在直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由（1）中所求可得出F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出過(guò)D，F(xiàn)的直線解析式；
（3）分三種情況討論：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．