Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一點，連接BE、AC、AE，若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度數(shù)．

Answer 1

解：連接BD交AC于F，連EF．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∠DCB=∠ABC=80°，
∵∠ACB=60°，
∴△BCF，△ADF均為正三角形，∠ACD=∠DCB-∠ACB=80°-60°=20°，
∵∠BEC=180°-∠CBE-∠DCB=180°-50°-80°=50°=∠CBE，
∴CB=CE=CF，
∴E、F、B在以C為圓心，CE為半徑的圓上，
在⊙C上任取點M，
∵∠DCB=80°，
∴∠M=∠BCD=40°
∴∠DFE=∠M=40°（圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角），
∵∠CDB=180°-∠DBC-∠DCB=180°-60°-80°=40°，
∴∠EFD=∠EDF=40°，
∴EF=ED，
∵AD=AF，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠CAE=∠DAE=∠DAC=30°．
分析：連接BD交AC于F，連EF．可證△BCF，△ADF均為正三角形．可證CB=CE．E、F、B在以C為圓心，CE為半徑的圓上，從而可證∠EFD=∠EDF=40°，因為EF=ED，于是易證△ADE≌△AFE，所以∠CAE=∠DAE=∠DAC=30°．
點評：此題考查等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)、等邊三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定，甚至還有圓的有關(guān)性質(zhì)，難度較大，作輔助線是關(guān)鍵．