Question

已知：如圖，弓形AmB小于半圓，它所在圓的圓心為O，半徑為13，弦AB的長為24；C是弦AB上的一動(dòng)點(diǎn)（異于A、B），過C作AB的垂線交弧AB于點(diǎn)P，以PC為直徑的圓交AP于點(diǎn)D；E是AP的中點(diǎn)，連接OE．
（1）當(dāng)點(diǎn)D、E不重合時(shí)（如圖1），求證：OE∥CD；
（2）當(dāng)點(diǎn)C是弦AB的中點(diǎn)時(shí)（如圖2），求PD的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)D、E重合時(shí)，請你推斷∠PAB的大小為多少度（只需寫出結(jié)論，不必給出證明）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出∠CDP=90°，根據(jù)垂徑定理求出OE⊥AP，即可推出答案；
（2）根據(jù)垂徑定理求出OC⊥AB，根據(jù)勾股定理求出OC、AP，由切割線定理求出AD，計(jì)算AP-AD即可；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠PAB．

解答：
（1）證明：∵CP是直徑，
∴∠CDP=90°，
∵OE過圓心O，AE=PE，
∴OE⊥AP，
∴OE∥CD．

（2）解：連接OC、AO，
∵AC=BC，
∴OC⊥AB，
∵PC⊥AB，
∴P、C、O三點(diǎn)共線，
由勾股定理得：OC=

OA2-AC2

=5，
∴PC=13-5=8，
由勾股定理得：AP=

AC2+PC2

=4

13

，
由切割線定理得：AC²=AD•AP，
∴AD=

36 13

13

，
PD=AP-AD=

16 13

13

，
答：PD的長是

16 13

13

．

（3）答：∠PAB=45°．

點(diǎn)評：本題主要考查對圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．