Question

如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線(xiàn)段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S_{四邊形AOBO}；⑤S_△AOC+S_△AOB=．其中正確的結(jié)論是（　�。�

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；

由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；

在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150°，故結(jié)論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4 3，故結(jié)論④錯(cuò)誤；

如圖②，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉(zhuǎn)化為S△COO″+S△AOO″，計(jì)算可得結(jié)論⑤正確．

解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，

故結(jié)論①正確；

如圖①，連接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′=OB=4．

故結(jié)論②正確；

∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．

在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故結(jié)論③正確；

S_{四邊形AOBO′}=S_△AOO′+S_△OBO′=，

故結(jié)論④錯(cuò)誤；

如圖②所示，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．

易知△AOO″是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△COO″是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，

則S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″= ，

故結(jié)論⑤正確．

綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤．

故選A．