Question

（2011•哈爾濱模擬）已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，點(diǎn)E在CD邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D兩點(diǎn)不重合），△AEP為，直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，過點(diǎn)E作EM∥BC交AF于點(diǎn)M．
（1）若∠BAD=120°（如圖1），求證：BF+DE=EM；
（2）若∠BAD=90°（如圖2），則線段BF、DE、EM的數(shù)量關(guān)系為

3

3

EM

；
（3）在（1）的條件下，若AD：BF=3：2，EM=7，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)FB到N，使BN=ED，連接AN、EF，通過求證△ADE≌△ABN，推出AN=AE，∠DAE=∠BAN，根據(jù)∠AD=120°，∠EAF=60°，推出∠NAF=∠EAF，繼而推出△ANF≌△AEF，求得NF=EF，∠AFN=∠AFE后，結(jié)合ME∥BC，推出∠AFB=∠EMF=∠AFE，即可推出ME=EF，可得BF+DE=EM．
（2）延長(zhǎng)CB至N點(diǎn)，使BN=DE，根據(jù)題意即可推出△ABN≌△ADE，求得∠EAD=∠NAB，NF=DE+BF，AN=AE，求得∠BAN+∠BAF=30°，由∠P=30°，∠AEP=90°，得

AE

PE

=

3

3

，∠BAN+∠BAF=30°，再由ME∥BC，推出∠NFA=∠FME，得△ANF∽△PEM，由AN=AE，即可推出

NF

EM

=

AE

PE

= 

3

3

，通過計(jì)算可得BF+DE=

3

3

ME．
（3）過D點(diǎn)做DG∥AB交BC于G點(diǎn)，作EK⊥BC于K點(diǎn)，連接EF，由四邊形ABGD為平行四邊形，∠BAD=120°，∠ABC=∠C=60°，推出△DGC為等邊三角形，設(shè)AD=3x，BF=2x，根據(jù)BF+DE=EM，EM=7，得，DE=7-2x，EC=5x-7，EF=EM=7，繼而推出BC=6x，F(xiàn)C=4x，求出EK=

3 (5x-7)

2

，F(xiàn)K=4x-

5x-7

2

=

3x+7

2

后，根據(jù)勾股定理，即可求出x的值，繼而求得EC的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）如圖3，延長(zhǎng)FB到N，使BN=ED，連接AN、EF，
∵∠AEP=90°，∠P=30°，
∴∠PAE=60°，
∵AB=AD，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABN=∠D，
∵在△ADE和△ABN中，

AB=AD ∠ABN=∠ADE BN=DE

，
∴△ADE≌△ABN（SAS），
∴AN=AE，∠DAE=∠BAN，
∵∠BAD=120°，∠PAE=60°，
∴∠NAF=∠EAF，
∵在△ANF和△AEF中，

AF=AF ∠NAF=∠EAF AN=AE

，
∴△ANF≌△AEF（SAS），
∴NF=EF，∠AFN=∠AFE，
∵M(jìn)E∥BC，
∴∠AFB=∠EMF=∠AFE，
∴ME=EF，
∴BF+DE=EM，

（2）如圖4，延長(zhǎng)CB至N點(diǎn)，使BN=DE，
∵AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD為正方形，
∵在△ABN和△ADE中，

AB=AD ∠ABN=∠ADE BN=DE

，
∴△ABN≌△ADE（SAS），
∴∠EAD=∠NAB，NF=DE+BF，AN=AE，
∵∠P=30°，∠AEP=90°，
∴∠PAE=60°，

AE

PE

=

3

3

，
∴∠EAD+∠BAF=30°，
∴∠BAN+∠BAF=30°，
∠NAP=∠P，
∵M(jìn)E∥BC，
∴∠NFA=∠FME，
∴△ANF∽△PEM，
∴

NF

EM

=

AN

PE

，
∵AN=AE，
∴

NF

EM

=

AE

PE

= 

3

3

，
∴BF+DE=

3

3

ME，

（3）過D點(diǎn)做DG∥AB交BC于G點(diǎn)，作EK⊥BC于K點(diǎn)，連接EF，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABGD為平行四邊形，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴△DGC為等邊三角形，
設(shè)AD=3x，BF=2x，
∵BF+DE=EM，EM=7，
∴DE=7-2x，EC=5x-7，EF=EM=7，
∵AB=AD，四邊形ABGD為平行四邊形，
∴AD=BG，
∴BC=6x，F(xiàn)C=4x，
∵EK⊥BC，
∴EK=

3 (5x-7)

2

，F(xiàn)K=4x-

5x-7

2

=

3x+7

2

，
∵EF²=FK²+EK²，
∴（

3x+7

2

）²+[

3 (5x-7)

2

]²=49，
解方程的：x=2，
∴EC=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于熟練的綜合運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，正確的做出輔助線，正確的求證相關(guān)的三角形全等，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算．