Question

（A題）某市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)建有B、C、D三個(gè)食品加工廠，這三個(gè)工廠和開(kāi)發(fā)區(qū)A處的自來(lái)水廠正好在一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上，它們之間有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米．自來(lái)水公司已經(jīng)修好一條自來(lái)水主管道AN，BC兩廠之間的公路與自來(lái)水管道交于E處，EC=500米．若自來(lái)水主管道到各工廠的自來(lái)水管道由各廠負(fù)擔(dān)，每米造價(jià)800元．
（1）要使修建自來(lái)水管道的造價(jià)最低，這三個(gè)工廠的自來(lái)水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)并在圖形中畫(huà)出；
（2）求出各廠所修建的自來(lái)水管道的最低的造價(jià)各是多少元？

（B題）如圖，已知平行四邊形ABCD及四邊形外一直線l，四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D到直線l的距離分別為a、b、c、d．
（1）觀察圖形，猜想得出a、b、c、d滿足怎樣的關(guān)系式？證明你的結(jié)論．
（2）現(xiàn)將l向上平移，你得到的結(jié)論還一定成立嗎？請(qǐng)分情況寫(xiě)出你的結(jié)論．

Answer 1

分析：A：（1）根據(jù)“垂線段最短”即可畫(huà)出使修建自來(lái)水管道的造價(jià)最低時(shí)，這三個(gè)工廠的自來(lái)水管道路線；
（2）根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式求得BH的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等分別求得CF，DG的長(zhǎng)，再根據(jù)每米造價(jià)800元求得價(jià)錢(qián)．
B：（1）此題可以連接平行四邊形的對(duì)角線，交點(diǎn)是O．作OO₁⊥l于O₁．根據(jù)梯形的中位線定理得到2OO₁=DD₁+BB₁=b+d=AA₁+CC₁=a+c．
（2）將l向上平移，分別有直線l過(guò)B點(diǎn)時(shí)；直線l過(guò)B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)；直線l過(guò)D點(diǎn)時(shí)；直線l過(guò)C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)；直線l過(guò)C點(diǎn)時(shí)；直線l過(guò)C點(diǎn)上方時(shí)．結(jié)合三角形的中位線定理和梯形的中位線定理進(jìn)行分析．

解答：（A題）解：（1）過(guò)B、C、D分別作AN的垂線段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即為所求的造價(jià)最低的管道路線．
圖形如圖所示．（3分）

（2）（法一）BE=BC-CE=1700-500=1200（米），
AE=

AB2+BE2

=1500（米），
∵△ABE∽△CFE，
得到：

CF

AB

=

CE

AE

．
∴CF=

CE•AB

AE

=

500×900

1500

=300（米）．（5分）
∵△BHE∽△CFE，
得到

CF

BH

=

CE

BE

，
∴BH=

BE•CF

CE

=

1200×300

500

=720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴

AB

DG

=

AE

AD

，
∴DG=

AB•AD

AE

=

900×1700

1500

=1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三廠所建自來(lái)水管道的最低造價(jià)分別是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（設(shè)∠AEB=∂，利用三角函數(shù)可求得BH、CF、DG的長(zhǎng)）


（B題）（1）a+c=b+d．（2分）
證明：連接AC、BD，且AC、BD相交于點(diǎn)O，OO₁為點(diǎn)O到l的距離，
∴OO₁為直角梯形BB₁D₁D的中位線，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）

（2）不一定成立（5分）
分別有以下情況：
直線l過(guò)A點(diǎn)時(shí)，c=b+d；
直線l過(guò)A點(diǎn)與B點(diǎn)之間時(shí)，c-a=b+d；
直線l過(guò)B點(diǎn)時(shí)，c-a=d；
直線l過(guò)B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)，a-c=b-d；
直線l過(guò)D點(diǎn)時(shí)，a-c=b；
直線l過(guò)C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)，a-c=b+d；
直線l過(guò)C點(diǎn)時(shí)，a=b+d；
直線l過(guò)C點(diǎn)上方時(shí)，a+c=b+d．     （10分）

點(diǎn)評(píng)：A中，考查了垂線段最短的性質(zhì)以及運(yùn)用勾股定理、直角三角形的面積和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的方法；
B中，主要是運(yùn)用了梯形的中位線定理和三角形的中位線定理．