Question

如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD．BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．

（1）求證：△MBA≌△NDC；

（2）四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定。

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點的定義，利用SAS判定△MBA≌△NDC；

（2）四邊形MPNQ是菱形，連接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中點得到PM=NQ，再通過證明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三角形中位線的性質(zhì)可得：MP=MQ，進而證明四邊形MQNP是菱形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，

∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD．BC的中點，

∴AM=AD，CN=BC，

∴AM=CN，

在△MAB≌△NDC，

∵，

∴△MAB≌△NDC；

（2）四邊形MPNQ是菱形，

理由如下：連接AN，

易證：△ABN≌△BAM，

∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，

∴BM=DN，

∵P、Q分別是BM、DN的中點，

∴PM=NQ，

∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，

∴△MQD≌△NPB．

∴四邊形MPNQ是平行四邊形，

∵M是AB中點，Q是DN中點，

∴MQ=AN，

∴MQ=BM，

∴MP=BM，

∴MP=MQ，

∴四邊形MQNP是菱形．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及平行四邊形的判定和菱形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題目．