Question

已知關于x的方程4x²-8nx-3n=2和x²-（n+3）x-2n²+2=0．問是否存在這樣的n的值，使第一個方程的兩個實數根的差的平方等于第二個方程的一整數根？若存在，求出這樣的n值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先根據根的判別式來確定方程（1）是否有實數根；然后再由根與系數的關系用n來表示兩個實數根的差的平方；最后，根據解得的第二個方程的兩根，并由已知條件來求n的值．

解答：解：由△₁=（-8n）²-4×4×（-3n-2）=（8n+3）²+23＞0，知n為任意實數時，方程（1）都有實數根．
設第一個方程的兩根為α、β．則α+β=2n，αβ=

-3n-2

4

．
于是，（α-β）²=（α+β）²-4αβ，
=4n²+3n+2；
由第二個方程得
[x-（2n+2）][x+（n-1）]=0，
解得兩根為x₁=2n+2，x₂=-n+1；
若x₁為整數，則4n²+3n+2=2n+2．
于是n₁=0，n₂=-

1

4

．
當n=0時，x₁=2是整數；
n=-

1

4

時，x=

3

2

不是整數，舍去．
若x₂為整數，則4n²+3n+2=1-n．
有n₃=n₄=-

1

2

．此時x₂=

3

2

不是整數，舍去．
綜合上述知，當n=0時，第一個方程的兩個實數根的差的平方等于第二個方程的一個整數根．

點評：本題主要考查了利用根與系數是關系及一元二次方程的根的判別式來解答一元二次方程的整數根與有理根．