Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，AB=AN，連結(jié)CD、BN，CD的延長(zhǎng)線交BN于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)∠ADN等于多少度時(shí)，∠ACE=∠EBF，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，設(shè)∠ABC=α，∠CAD=β，試探索α、β滿足什么關(guān)系時(shí)，△ACE≌△FBE，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)∠ADN等于90度時(shí)，∠ACE=∠EBF，首先證明△ABC≌△AND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和已知條件即可得證；
（2）當(dāng)β=2α?xí)r，△ACE≌△FBE，利用已知得出CE=BE，再利用∠ACE=∠EBF，又∠AEC=∠BEF，得出即可．
解答：解：（1）當(dāng)∠ADN等于90度時(shí)，∠ACE=∠EBF．
理由如下：
∵∠ACB=∠ADN=90°，
∴△ABC和△AND均為直角三角形
又∵AC=AD，AB=AN，
∴△ABC≌△AND，
∴∠CAB=∠DAN，
∴∠CAD=∠BAN，
又∠ACD=∠ADC，∠ABN=∠ANB，
∴∠ACD=∠ABN   即∠ACE=∠EBF；

（2）當(dāng)β=2α?xí)r，△ACE≌△FBE．  
理由如下：
在△ACD中，∵AC=AD，
∴，
在Rt△ABC中，
∠ACD+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=α．
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（1）知：∠ACE=∠EBF，又∠AEC=∠BEF
∴△ACE≌△FBE．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．