Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線過點(diǎn)A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AP的中點(diǎn)，將線段MP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB．過B作x軸的垂線、過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩直線相交于點(diǎn)D．
（1）求b，c的值．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上．
（3）是否存在t，使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）如圖2，連結(jié)AC，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若以PB為直徑的圓與直線AC相切，直接寫出此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出b，c的值；
（2）先由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△AOP∽△PEB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等得到==2，則PE=2，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后將D（t+2，4）代入（1）中求出的拋物線的解析式，即可求出t的值；
（3）由于t=8時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8兩種情況進(jìn)行討論，在每一種情況下，當(dāng)以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似時(shí)，又分兩種情況：△POA∽△ADB與△POA∽△BDA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可；
（4）設(shè)BP的中點(diǎn)為N，由P（t，0），B（t+2，），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出N（t+1，），由勾股定理求出AP=．過點(diǎn)N作FN∥AC交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H．運(yùn)用待定系數(shù)法求出AC的解析式為y=-x+4，根據(jù)解析式平移的規(guī)律設(shè)FN的解析式為y=-x+m，將N（t+1，）代入，得出m=+．由△AFH∽△ACO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等得出FH=2×，又當(dāng)以PB為直徑的圓與直線AC相切時(shí)，F(xiàn)H=BP=AP，列出方程2×=，解方程即可求出t的值．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（0，4）和C（8，0），
∴，
解得．
故所求b，c的值分別為，4；

（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°-∠APO，
∴△AOP∽△PEB且相似比為==2，
∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，
又∵DE=OA=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t+2，4），
∴點(diǎn)D落在拋物線上時(shí)，有-（t+2）²+（t+2）+4=4，
解得t=3或t=-2，
∵t＞0，
∴t=3．
故當(dāng)t為3時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上；

（3）存在t，能夠使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似，理由如下：
①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖1．
若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（4-t），
整理，得t²+16=0，
∴t無解；
若△POA∽△BDA，同理，解得t=-2±2（負(fù)值舍去）；
②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖3．
若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（t-4），
解得t=8±4（負(fù)值舍去）；
若△POA∽△BDA，同理，解得t無解；
綜上可知，當(dāng)t=-2+2或8+4時(shí)，以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似；

（4）如圖2．∵A（0，4），C（8，0），
∴AC的解析式為y=-x+4．
設(shè)BP的中點(diǎn)為N，由P（t，0），B（t+2，），可得N（t+1，），AP=．
過點(diǎn)N作FN∥AC交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，
設(shè)直線FN的解析式為y=-x+m，將N（t+1，）代入，
可得-（t+1）+m=，即m=+．
由△AFH∽△ACO，可得=，
∵AF=4-m，
∴=，
∴FH=2×，
當(dāng)以PB為直徑的圓與直線AC相切時(shí)，F(xiàn)H=BP=AP，
∴2×=，
將m=+代入，整理得：31t²-336t+704=0，
解得：t=8，t=．
故以PB為直徑的圓與直線AC相切時(shí)，t的值為8或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．由相似三角形的判定與性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解決（2）小題的關(guān)鍵；進(jìn)行分類討論是解決（3）小題的關(guān)鍵；根據(jù)切線及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出FH=BP=AP解決（4）小題的關(guān)鍵．