Question

已知⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），CAB=90°, AC=AB，頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動．

（1）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值；（2）當(dāng)直線AB與⊙O相切時，求AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

【答案】

（1），其中-1≤x≤1，S的最大值為，最小值為；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，在Rt△OAE中求AE的長，然后再在Rt△BAE中求出AB的長，進(jìn)而求出面積的表達(dá)式，結(jié)合定義域，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定最大最小值；

（2）相切時有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點(diǎn)坐標(biāo)，AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式很容易就能求出．

試題解析：（1）如圖1，連接OA，過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，

在Rt△OAE中，，

在Rt△BAE中，，

∴，其中-1≤x≤1.

∴當(dāng)x=-1時，S的最大值為，當(dāng)x=1時，S的最小值為.

（2）①當(dāng)點(diǎn)A位于第一象限時（如圖1），連接OA，并過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，

∵直線AB與⊙O相切，∴∠OAB=90°.

又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°.∴點(diǎn)O、A、C在同一條直線.

∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°.

在Rt△OAE中，OE=AE=，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）.

又∵B的坐標(biāo)為（，0），∴過A、B兩點(diǎn)的直線為.

②當(dāng)點(diǎn)A位于第四象限時（如圖2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），

∵B的坐標(biāo)為（，0），∴過A、B兩點(diǎn)的直線為.

綜上所述，過A、B兩點(diǎn)的直線為或.

考點(diǎn)：1. 圓的性質(zhì)；2.圓與直線的關(guān)系；3.勾股定理；4.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；5.一次函數(shù)的性質(zhì)；6.待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式；7.分類思想的應(yīng)用.