Question

如圖，D是半徑為R的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交直徑AB的延長線于點C，下列四個條件：①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=R．其中，使得BC=R的有（填正確結論的序號）    ．

Answer 1

【答案】分析：作出常用輔助線，過圓心連接切點，利用切線的性質定理，可以求出各邊以及各角之間的關系．
解答：解：連接OD，
∵CD是圓的切線
∴OD⊥CD
當AD=CD，∴∠A=∠C
∵AO=OD，∠A=∠ADO，∴∠A=∠C=∠ADO，
又∵∠DOC=∠A+∠ADO
∵∠DOC+∠C=90°
∴∠A=∠C=∠ADO=30°
根據(jù)在直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半，OD=OC=R
∵OB=R，所以BC=R
即：①AD=CD符合要求，
當∠A=30°，∵AO=OD
∴∠ADO=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD⊥CD，
∴∠C=30°
根據(jù)在直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半，OD=OC=R
∵OB=R，所以BC=R
即：②∠A=30°正確
當∠ADC=120°，OD⊥CD
∴∠ADO=30°，∠A=30°
∴∠DOC=60°
∴∠C=30°
根據(jù)在直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半，OD=OC=R
∵OB=R，所以BC=R
即：③∠ADC=120°正確，
當DC=R，∵OD=R，OD⊥CD，
∴OC=R，∵OB=R，∴BC=R-R
所以④DC=R，不能使得BC=R
故填：①②③
點評：此題主要考查了切線的性質定理，是中考中常見問題，但是它具有一定的開放性，題目不錯．