Question

（2006•連云港）如圖，已知拋物線y=px²-1與兩坐標軸分別交于點A、B、C，點D坐標為（0，-2），△ABD為直角三角形，l為過點D且平行于x軸的一條直線．
（1）求p的值；
（2）若Q為拋物線上一動點，試判斷以Q為圓心，QO為半徑的圓與直線l的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）是否存在過點D的直線，使該直線被拋物線所截得的線段是點D到直線與拋物線兩交點間得兩條線段的比例中項？如果存在，請求出直線解析式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△ABD為等腰直角三角形，點D坐標為（O，-2），可求點B的坐標為（2，O）．將點B的坐標（2，0）代入拋物線解析式，得p=．
（2）設(shè)點Q的坐標為（a，b），則有a²=4b+4．過Q作QG⊥l，垂足為G，交x軸于H．DQ=b+2．又點Q到直線l的距離QG=b+2．QG=DQ．⊙Q與直線l相切．
（3）先假設(shè)存在這樣的直線，該直線被拋物線所截得的線段是點D到直線與拋物線兩交點間的兩條線段的比例中項．設(shè)直線解析式為：y=kx-2，與拋物線兩交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．分別過M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足為M'，N'，因為MM'∥NN'，可知MN²=DM．DN，即（x₂+x₁）²-5x₁x₂=0．根據(jù)交點的意義可得x₁，x₂是方程x²-4kx+4=O的兩個根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得16k²-20=o，解得k=±，當k=±時，有△＞0，所以，滿足條件的解析式為y=-2和y=--2．
解答：解：（1）由題意知，△ABD為等腰直角三角形，
又∵點D坐標為（O，-2）
∴OD=2，
∴OA=OB=OD=2．
∴點B的坐標為（2，O）．（2分）
將點B的坐標（2，0）代入拋物線解析式，
得p=．（3分）

（2）以Q為圓心，QO為半徑的圓與直線l相切．（4分）
設(shè)點Q的坐標為（a，b），則有a²=4b+4．
過Q作QG⊥l，垂足為G，交x軸于H（如圖1）．
∴DQ=b+2．
又∵點Q到直線l的距離OQ=b+2=QG．
∴QG=DQ．
故⊙Q與直線l相切．

（3）假設(shè)存在這樣的直線，該直線被拋物線所截得的線段是點D到直線與拋物線兩交點間的兩條線段的比例中項．
設(shè)直線解析式為）y=kx-2，與拋物線兩交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．
解法一分別過M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足為M'，N'（如圖2）
∴MM'∥NN'，
∴
∵MN²=DM．DN，
∴（x₂+x₁）²-5x₁x₂=0，（9分）
∵點M在直線y=kx-2上，
∴y₁=kx₁-2，
∵點M又在拋物線y=x²-1上，
∴y₁=x₁²-1
∴kx₁-2=x₁²-1，
即x₁²-4kx₁+4=0，
同理，有x₂²-4kx₂+4=0
∴x₁，x₂是方程x²-4kx+4=O的兩個根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得16k²-20=o，
解得k=±
當k=±時，有△＞0，
所以，滿足條件的解析式為y=-2和y=--2．
點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，交點的意義和二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系等．要熟練掌握才能靈活運用．