Question

已知拋物線C₁的函數(shù)解析式為y=ax²+bx-3a（b＜0），若拋物線C₁經(jīng)過點（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求拋物線C₁的頂點坐標(biāo)．
（2）已知實數(shù)x＞0，請證明x+≥2，并說明x為何值時才會有x+=2．
（3）若將拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C₂，設(shè)A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的兩個不同點，且滿足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．請你用含m的表達(dá)式表示出△AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式．
（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P，Q兩點間的距離為）

Answer 1

【答案】分析：（1）求拋物線的頂點坐標(biāo)，需要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數(shù)a、b的值．已知拋物線圖象與y軸交點，可確定解析式中的常數(shù)項（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題干給出了兩根差的絕對值，將其進行適當(dāng)變形（轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出b的值．
（2）x•=1，因此將x+配成完全平方式，然后根據(jù)平方的非負(fù)性即可得證．
（3）結(jié)合（1）的拋物線的解析式以及函數(shù)的平移規(guī)律，可得出拋物線C₂的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可確定m、n的關(guān)系式，然后用m列出△AOB的面積表達(dá)式，結(jié)合不等式的相關(guān)知識可確定△OAB的最小面積值以及此時m的值，進而由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)OA的解析式．
解答：解：（1）∵拋物線過（0，-3）點，∴-3a=-3
∴a=1
∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的兩根為x₁，x₂且|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|==4，且b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴拋物線C₁的頂點坐標(biāo)為（1，-4）．

（2）∵x＞0，∴x+-2=（-）²≥0
∴x+≥2，顯然當(dāng)x=1時，才有x+=2．

（3）由平移知識易得C₂的解析式為：y=x²
∴A（m，m²），B（n，n²）
∵△AOB為直角三角形，
∴OA²+OB²=AB²
∴m²+m⁴+n²+n⁴=（m-n）²+（m²-n²）²
化簡得：m n=-1
∴S_△AOB==
==（m+）≥•2=1
∴S_△AOB的最小值為1，此時m=1，A（1，1）
∴直線OA的一次函數(shù)解析式為y=x．
點評：該題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、不等式的應(yīng)用等知識，解題過程中完全平方式的變形被多次提及，應(yīng)熟練掌握并能靈活應(yīng)用．