Question

3．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ．
（1）若α=60°，且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，此時∠CDB的度數(shù)為30°
（2）在圖2中，點P不與點B、M重合，線段CQ的延長線交射線BM于點D，則∠CDB的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）90°-α．
（3）對于適當大小的α，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B、M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=DQ，則α的取值范圍是45°＜α＜60°．

Answer 1

分析 （1）由條件可得出AB=BC=AC，再利用旋轉可得出QM=MC，證得CB=CD=BA，再由三角形外角的性質即可得出結論；
（2）由（1）可得BM為AC的垂直平分線，結合條件可以得出Q，C，A在以P為圓心，PA為半徑的圓上，由圓周角定理可得∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠APQ=α，可得出∠CDB和α的關系；
（3）借助（2）的結論和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，結合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范圍．

解答 解：（1）如圖1，∵BA=BC，∠BAC=60°，
∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，
∵M為AC的中點，
∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC．
∵PQ由PA旋轉而成，
∴AP=PQ=QM=MC．
∵∠AMQ=2α=120°，
∴∠MCQ=60°，∠QMD=30°，
∴∠MQC=60°．
∴∠CDB=30°．
故答案為：30°；

（2）如圖2，連接PC，
∵由（1）得BM垂直平分AC，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC=PA，
∴Q，C，A在以P為圓心，PA為半徑的圓上，
∴∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠APQ=α，
∴∠BAC=∠ACD，
∴DC∥BA，
∴∠CDB=∠ABD=90°-α．
故答案為：90°-α；

（3）∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵點P不與點B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案為：45°＜α＜60°．

點評 本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到菱形的判定和性質及圓周角定理、垂直平分線等知識的綜合應用，在（1）中掌握菱形的判定方法是解題的關鍵，在（2）中得出Q、C、A三點共圓利用圓周角定理得出結論是解題的關鍵．