Question

（2011•呼倫貝爾）如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與x軸相交于點A、C，與y軸相交于點B，A（），且△AOB∽△BOC．
（1）求C點坐標、∠ABC的度數(shù)及二次函數(shù)y=ax²+bx+3的關系式；
（2）在線段AC上是否存在點M（m，0）．使得以線段BM為直徑的圓與邊BC交于P點（與點B不同），且以點P、C、O為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數(shù)y=ax²+bx+3的解析式，首先求出B點坐標，然后由△AOB∽△BOC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求出OC的長度，得出C點坐標；根據(jù)相似三角形的對應角相等得出∠OAB=∠OBC，從而得出∠ABC=90°；由y=ax²+bx+3圖象經過點A（-，0），C（4，0），運用待定系數(shù)法即可求出此二次函數(shù)的關系式；
（2）如果以點P、C、O為頂點的三角形是等腰三角形，那么分三種情況討論：①CP=CO；②PC=PO；③OC=OP．針對每一種情況，都應首先判斷M點是否在線段AC上，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求出m的值．
解答：解：（1）由題意，得B（0，3），
∵△AOB∽△BOC，
∴∠OAB=∠OBC，
∴=，
∴=，
∴OC=4，∴C（4，0）；
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠ABC=90°；
∵y=ax²+bx+3圖象經過點A（-，0），C（4，0），
∴，
∴y=-x²+x+3；

（2）①如圖1，當CP=CO時，點P在BM為直徑的圓上，
因為BM為圓的直徑，
∴∠BPM=90°，
∴PM∥AB，
∴△CPM∽△CBA，
∴CM：CA=CP：CB，
CM：6.25=4：5，
∴CM=5，
∴m=4-5=-1；
②如圖2，當PC=PO時，點P在OC垂直平分線上，
得PC=BC=2.5，
由△CPM∽△CBA，得CM=，
∴m=4-=；
③當OC=OP時，M點不在線段AC上．
綜上所述，m的值為或-1．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質，探究等腰三角形的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求高．考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．