Question

在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中點，DG⊥AC交AB于點G.

（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF，連結EF與 CF，過點F作FH⊥FC，交直線AB于點H．

①求證：DG=DC

②判斷FH與FC的數(shù)量關系并加以證明．

（2）若E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結論是否發(fā)生改變，（本小題直接寫出結論，不必證明）．

 

Answer 1

證明：（1）①∵AC＝BC，∠ACB＝90⁰

                ∴∠A＝∠B＝45⁰

               又GD⊥AC

                ∴∠ADG＝90⁰

              在△ADG中，

∠A+∠ADG+∠AGD＝180⁰

              ∴∠AGD＝45⁰

              ∴∠A=∠AGD

              ∴AD=DG       

            又D是AC中點

              ∴AD＝DC

              ∴DG＝DC           

②由①DG＝DC

又∵DF＝DE

∴DF-DG＝DC-DE

即FG＝CE              .

由①∠AGD＝45⁰

∴∠HGF＝180⁰-45⁰＝135⁰

又DE＝DF，∠EDF＝90⁰

∴∠DEF＝45⁰

∴∠CEF＝180⁰-45⁰＝135⁰

∴∠HGF＝∠FEC          

又HF⊥CF

∴∠HFC＝90⁰

∴∠GFH+∠DFC＝180⁰-90⁰＝90⁰

又Rt△FDC中

∠DFC+∠ECF＝90⁰

∴∠GFH＝∠ECF          

在△FGH和△CEF中

∴△FGH≌△CEF（ASA）

∴FH＝FC                  

        （2）圖略（10分）

            △FHG≌△CFE           

            不變，F(xiàn)H=FC