如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng),設(shè)AP=x,現(xiàn)將紙片折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合,得折痕EF(點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)),再將紙片還原.
(1)當(dāng)x=0時(shí),折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)_____;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)_____
【答案】
分析:(1)當(dāng)x=0時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)P重合,則折痕EF的長(zhǎng)等于矩形ABCD中的AB,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),折痕是一個(gè)直角的角平分線,可求EF=
;
(2)由題意可知,EF垂直平分線段DP,要想使四邊形EPFD為菱形,則EF也應(yīng)被DP平分,所以點(diǎn)E必須要在線段AB上,點(diǎn)F必須在線段DC上,即可確定x的取值范圍.再利用勾股定理確定菱形的邊長(zhǎng).
(3)構(gòu)造直角三角形,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例確定y的值,再利用二次函數(shù)的增減性確定y的最大值.
解答:解:(1)當(dāng)x=0時(shí),折痕EF=AB=3,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),折痕EF=
=
.
(2)1≤x≤3.
當(dāng)x=2時(shí),如圖,連接PE、PF.
∵EF為折痕,
∴DE=PE,
令PE為m,則AE=2-m,DE=m,
在Rt△ADE中,AD
2+AE
2=DE
2∴1+(2-m)
2=m
2,解得m=
;
此時(shí)菱形邊長(zhǎng)為
.
(3)如圖2,過(guò)E作EH⊥BC;
∵△EFH∽△DPA,
∴
,
∴FH=3x;
∴y=EF
2=EH
2+FH
2=9+9x
2;
當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí),如圖3,連接PF;
∵PF=DF=3,
∴PB=
,
∴0≤x≤3-2
;
∵函數(shù)y=9+9x
2的值在y軸的右側(cè)隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=3-2
時(shí),y有最大值,
此時(shí)∠EPF=90°,△EAP∽△PBF.
綜上所述,當(dāng)y取最大值時(shí)△EAP∽△PBF,x=3-2
.
點(diǎn)評(píng):此題是一道綜合性較強(qiáng)的題目,主要考查學(xué)生的圖感,利用折疊過(guò)程中的等量關(guān)系尋找解題途徑;特別是最后一問(wèn)中涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多,需要同學(xué)們利用相似三角形的性質(zhì)確定函數(shù)關(guān)系式后再根據(jù)自變量的取值范圍來(lái)確定二次函數(shù)的最值問(wèn)題.