在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),EC與AD交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在BC上.

(1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD.

(2)如圖2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.

 

【答案】

(1)詳見試題解析; (2)1:

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根據(jù)AC:AB=1:2及點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),得出AC=BE,再利用AAS證明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD;

(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先證明四邊形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,則∠FEQ=∠GEH,再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE,在△AEH中,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE,又BE=AE,進(jìn)而求出EF:EG的值.

試題解析:(1)如圖1,

在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.

∵AC:AB=1:2,∴AB=2AC,

∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴AB=2BE,

∴AC=BE.

在△ACD與△BEF中,

,

∴△ACD≌△BEF,

∴CD=EF,即EF=CD;

(2)解:如圖2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,

∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,

∴四邊形EQDH是矩形,

∴∠QEH=90°,

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,

又∵∠EQF=∠EHG=90°,

∴△EFQ∽△EGH,

∴EF:EG=EQ:EH.

∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,

∴∠B=30°.

在△BEQ中,∵∠BQE=90°,

∴sin∠B==,

∴EQ=BE.

在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,

∴cos∠AEH==,

∴EH=AE.

∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴BE=AE,

∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:

考點(diǎn):1. 相似三角形的判定與性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì).

 

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(1)如圖1,若點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上,求證:CN+MN=AM;
(2)如圖2,若點(diǎn)M在邊AC上,點(diǎn)N在BC邊的延長線上,試猜想CN、MN、AM之間的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)寫出你的結(jié)論(不要求證明).

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(1)當(dāng)PN∥BC時(shí),∠ACP=
90
90
度;
(2)當(dāng)α=15°時(shí),求∠ADN的度數(shù);
(3)在點(diǎn)P的滑動(dòng)過程中,△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎?若不可以,請(qǐng)說明理由;若可以,請(qǐng)求出夾角α的大小.

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