在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),EC與AD交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在BC上.
(1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD.
(2)如圖2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
(1)詳見試題解析; (2)1:.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根據(jù)AC:AB=1:2及點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),得出AC=BE,再利用AAS證明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD;
(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先證明四邊形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,則∠FEQ=∠GEH,再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE,在△AEH中,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE,又BE=AE,進(jìn)而求出EF:EG的值.
試題解析:(1)如圖1,
在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.
∵AC:AB=1:2,∴AB=2AC,
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴AB=2BE,
∴AC=BE.
在△ACD與△BEF中,
,
∴△ACD≌△BEF,
∴CD=EF,即EF=CD;
(2)解:如圖2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四邊形EQDH是矩形,
∴∠QEH=90°,
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴EF:EG=EQ:EH.
∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,
∴∠B=30°.
在△BEQ中,∵∠BQE=90°,
∴sin∠B==,
∴EQ=BE.
在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,
∴cos∠AEH==,
∴EH=AE.
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴BE=AE,
∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:.
考點(diǎn):1. 相似三角形的判定與性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì).
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