(2007•內(nèi)江)如圖,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,動點E(與點A,C不重合)在AC邊上,EF∥AB交BC于F點.
(1)當(dāng)△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時,求CE的長;
(2)當(dāng)△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時,求CE的長;
(3)試問在AB上是否存在點P,使得△EFP為等腰直角三角形?若不存在,請簡要說明理由;若存在,請求出EF的長.

【答案】分析:(1)因為EF∥AB,所以容易想到用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題;
(2)根據(jù)周長相等,建立等量關(guān)系,列方程解答;
(3)先畫出圖形,根據(jù)圖形猜想P點可能的位置,再找到相似三角形,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.
解答:解:(1)∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等
∴S△ECF:S△ACB=1:2    
又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB 
==
∵AC=4,
∴CE=

(2)設(shè)CE的長為x
∵△ECF∽△ACB
=
∴CF=
由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等,
得x+EF+x=(4-x)+5+(3-x)+EF
解得
∴CE的長為;

(3)△EFP為等腰直角三角形,有兩種情況:
①如圖1,假設(shè)∠PEF=90°,EP=EF
由AB=5,BC=3,AC=4,得∠C=90°
∴Rt△ACB斜邊AB上高CD=
設(shè)EP=EF=x,由△ECF∽△ACB,得:
=
=
解得x=,即EF=
當(dāng)∠EFP´=90°,EF=FP′時,同理可得EF=;

②如圖2,假設(shè)∠EPF=90°,PE=PF時,點P到EF的距離為EF
設(shè)EF=x,由△ECF∽△ACB,得:
=,即=
解得x=,即EF=
綜上所述,在AB上存在點P,使△EFP為等腰直角三角形,此時EF=或EF=
點評:此題考查了相似三角形的性質(zhì),有一定的開放性,難點在于作出輔助線就具體情況進(jìn)行分類討論.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求出B,D兩點的坐標(biāo);
(2)求a的值;
(3)作△ADN的內(nèi)切圓⊙P,切點分別為M,K,H,求tan∠PFM的值.

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(1)求出B,D兩點的坐標(biāo);
(2)求a的值;
(3)作△ADN的內(nèi)切圓⊙P,切點分別為M,K,H,求tan∠PFM的值.

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