Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時間為t秒．
（1）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，當(dāng)t為何值時，△ADH≌△ABC，并求出此時DE的長度；
（2）如圖2，過點(diǎn)B作射線BP∥AC，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BP于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．當(dāng)△DEG與△ACB相似時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長，即可得到AD、t的值，從而確定AE的長，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG與△ACB相似，要分兩種情況：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根據(jù)這些比例線段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表達(dá)式時，要分AD＞AE和AD＜AE兩種情況）

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴BA=

AC2+BC2

=

36+64

=10，
∵當(dāng)△ADH≌△ABC時，AB=AD，AC=AH，
∵動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動，
∴5t=10，即t=2；
AE=AC+CE=6+3t=6+6=12，DE=AE-AD=12-10=2；

（2）∵EF=BC=8，G是EF的中點(diǎn)，
∴GE=4．
當(dāng)AD＜AE（即t＜3）時，DE=AE-AD=6+3t-5t=6-2t，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

6-2t

4

=

6

8

或

6-2t

4

=

8

6

，
∴t=

3

2

或t=

1

3

，
當(dāng)AD＞AE（即t＞3）時，DE=AD-AE=5t-（6+3t）=2t-6，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

2t-6

4

=

6

8

或

2t-6

4

=

8

6

，
解得t=

9

2

或t=

17

3

．
綜上所述，當(dāng)t=

9

2

或

17

3

或

3

2

或

1

3

時，△DEG與△ACB相似．

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理、全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形等相關(guān)知識，綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的壓軸題．