Question

如圖，四邊形OABC的四個頂點坐標(biāo)分別為O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直線l：y=x+b保持與四邊形OABC的邊交于點M、N（M在折線AOC上，N在折線ABC上）．設(shè)四邊形OABC在l右下方部分的面積為S₁，在l左上方部分的面積為S₂，記S為S₁、S₂的差（S≥0）．
（1）求∠OAB的大��；
（2）當(dāng)M、N重合時，求l的解析式；
（3）當(dāng)b≤0時，問線段AB上是否存在點N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，請說明理由；
（4）求S與b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）過點B過BE⊥x軸，垂足為E．點E（4，0），
∴BE=4，AE=4，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
答：∠OAB=45°．

（2）當(dāng)點M、N重合時，
∵S≥0，
∴應(yīng)重合到點C（0，4），
∵把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，
∴直線l的解析式y(tǒng)=x+4．

（3）四邊形OABC的面積為×4（4+8）=24，
直線l：y=x+b與x軸的交角為45°，△AMN為等腰直角三角形．
當(dāng)S=0時，△AMN的面積為四邊形OABC的面積的一半，即12．
過點N作x軸的垂線NH，
則NH=AH=MH，
設(shè)NH=a，
×2a×a=12，
解得：a=2，
∴OH=8-2，
∴點N的坐標(biāo)為（8-2，2），
代入y=x+b得：b=4-8．
答：當(dāng)b≤0時，線段AB上存在點N使得S=0，b的值是4-8．

（4）分為三種情況：①如圖在N₁、M₁時，當(dāng)4-8≤b＜0時，
OM=-b，AM=8-（-b）=8+b，
設(shè)直線AB的解析式是y=cx+d，
把A（8，0），B（4，4）代入得：，
解得：，
y=-x+8，
解方程組得：，
S₁=AM×NH=×2××=b²+4b+16；
S₂=24-S₁，
S=S₁-S₂=b²+4b+16-[24-（b²+4b+16）]=b²+8b+8，
②當(dāng)0≤b≤4時，如圖在N₂、M₂點時，OM=b，CM=4-b，
S₂=（4-b）²，S₁=24-S₂，
S=S₁-S₂=-b²+8b+8，
③-8＜a＜-8+4時，如圖，在N₃、M₃時，S₁=×2××=b²+4b+16；
S₂=24-S₁，
S=S₂-S₁=[24-（b²+4b+16）]-（b²+4b+16）=-b²+8b+8，
分析：（1）過點B過BE⊥x軸，垂足為E．求出點E的坐標(biāo)，求出等腰直角三角形ABE即可；
（2）把A（8，0）C（0，4）點代入y=x+b求出即可；
（3）求出梯形的面積，過點N作x軸的垂線NH，得到NH=AH=MH，設(shè)NH=a，代入面積公式求出a，代入解析式求出b即可；
（4）分為三種情況：①當(dāng)0≤b≤4時，②當(dāng)4-8≤b＜0時，③③-8＜a＜-8+4時，設(shè)直線AB的解析式是y=cx+d，把A（8，0），B（4，4）代入求出解析式，解兩直線組成的方程組，求出交點坐標(biāo)，根據(jù)梯形和三角形的面積求出S即可．
點評：本題主要考查對三角形的面積，梯形，等腰直角三角形，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，解一元一次方程，解二元一次方程組等知識點的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．