Question

【題目】（本題滿分分）

（）【問題】如圖，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且， ．當(dāng)點(diǎn)位于__________時(shí)線段的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為__________（用含、的式子表示）．

（）【應(yīng)用】點(diǎn)為線段除外一動(dòng)點(diǎn)，且， ．如圖所示，分別以、為邊，

作等邊三角形和等邊三角形，連接、．

①請(qǐng)找出圖中與相等的線段，并說明理由．

②直接寫出線段長(zhǎng)的最大值．

（）【拓展】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段

外一動(dòng)點(diǎn)，且， ， ．請(qǐng)直接寫出線段長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（）延長(zhǎng)線上， ；（）①；②（）；

【解析】（）當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，三角形兩邊之和大于第三邊，即；

當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)， ；

當(dāng)在線段上時(shí)， ．

故當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)， 取得最大值，且為．

（）①依題意得， ，利用等邊三角形每個(gè)角都是和角的關(guān)系得，

最后根據(jù)邊角邊定理證明≌，

從而推出．

②因?yàn)?/span>，所以線段的最大值即的最大值．

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，所以最大時(shí)即、、三點(diǎn)共線，

得到的最大值為，

故的最大值為．

（）如圖1，以點(diǎn)為圓心， 為半徑作弧，交以點(diǎn)為圓心，

為半徑作的弧于點(diǎn)，連接、、，則．

在和中，

，

所以≌，

所以，又因?yàn)?/span>，

所以，即．

由（）可知，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)， 取得最大值，

又因?yàn)?/span>，所以此時(shí)取得最大值．

如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

在中，由勾股定理得

，

所以．

因?yàn)?/span>， ，所以是等腰直角三角形，

又因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)辄c(diǎn)，

所以，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為．