Question

如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD交BF于點G，GE∥CA，求證：CE與FG互相垂直平分．

Answer 1

證明：過G作GK⊥BC于K，連接EF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠GBK=∠GBD，GK=GD，
∵∠GKB=∠GDB
∴△GBK≌△GBD（AAS），
∴DB=BK，∠GKB=∠BDC=90°，
∵∠EBK是公共角，
∴∠EBK=∠EBK，
∴△CGB≌△EGB（ASA），
∴CG=EG，即GF垂直平分CE（三合一）．
∵∠FCE=∠CEK=∠ECD，
∴△CFE≌△CGE（ASA），
∴FC=CG=GE，F(xiàn)C∥EG．
∴FCGE為平行四邊形，
∵CG=GE，
∴四邊形FCGE為菱形，
∴CE與GF互相垂直平分．
分析：過G作GK⊥BC于K，由角平分線的性質(zhì)可得∠GBK=∠GBD，GK=GD，由全等三角形的判定定理可知△GBK≌△GBD，△CGB≌△EGB，由平行四邊形的判定定理可知FCGE為平行四邊形，根據(jù)CG=GE即平行四邊形的鄰邊相等可知此四邊形是菱形，由菱形的對角線互相垂直平分即可求解．
點評：本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形及菱形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．