Question

26、已知下面等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立（n為正整數(shù)）：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁+a₂+a₃+…+a_n=57，則滿足條件的n的可能值是

5

．

Answer 1

分析：利用特殊值法可以解決，分別分析當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，代入已知式子，求出（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的值，a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀，進(jìn)而得出a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀+57=n+57=2+2²+2³+…+2ⁿ，從而得出答案．

解答：解：當(dāng)x=0時(shí)，
∴（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=1+1+1+1+…+1=n，
a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀，
∴a₀=n，
當(dāng)x=1時(shí)，
∴（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=2+2²+2 ³+…+2ⁿ，
a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=57，
∴a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀+57=n+57=2+2²+2 ³+…+2ⁿ，
∴只有n=5時(shí)，2+2²+2³+…+2ⁿ=2+4+8+16+32=62=57+n，
∴則滿足條件的n的可能值是5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用，利用當(dāng)x=0與當(dāng)x=1時(shí)，將已知條件變形得出a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=a₀+57是解決問題的關(guān)鍵．