Question

如圖，把一張長10 cm，寬8 cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計)．

(1)要使長方體盒子的底面積為48 cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少？

(2)你感到折合而成的長方體盒子的側面積會不會有最大的情況？如果有，請求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請說明理由．

(3)如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)小題利用正方形的面積公式，列一元二次方程求解；(2)小題均是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求幾何圖形的最大面積． 　　解：(1)設正方形的邊長為x cm，則(10－2x)·(8－2x)＝48，即x2－9x＋8＝0． 　　解得x1＝8(不合題意，舍去)，x2＝1．所以剪去的正方形的邊長為1 cm． 　　(2)有側面積最大的情況． 　　設正方形的邊長為x cm，盒子的側面積為y cm2，則y與x的函數(shù)關系式為y＝2(10－2x)x＋2(8－2x)x． 　　整理，得y＝－8x2＋36x，即y＝－8(x－)2＋． 　　所以當x＝2.25時，y最大＝40.5， 　　即當剪去的正方形的邊長為2.25 cm時，長方體盒子的側面積最大，為40.5 cm2． 　　(3)有側面積最大的情況． 　　設正方形的邊長為x cm，盒子的側面積為y cm2． 　　若按下圖所示的方法剪折，則y與x的函數(shù)關系式為y＝2(8－2x)x＋2×x， 　　即y＝－6(x－)2＋． 　　當x＝時，y最大＝． 　　若按下圖所示的方法剪折，則y與x的函數(shù)關系式為y＝2(10－2x)x＋2×x，即y＝－6·(x－)2＋． 　　當x＝時，y最大＝． 　　比較以上兩種剪折方法可以看出，按下圖所示的方法剪折得到的盒子側面積最大，即當剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側面積最大，最大面積為cm2． 　　點評：求二次函數(shù)的最值通常是看它的頂點坐標，因此，同學們要熟練掌握將一個二次函數(shù)一般式轉化為頂點式這一重要的技能．另外，本題第(3)小題通過計算兩種剪法所得側面積的大小，加以比較后作出結論．