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(2009•眉山)如圖,已知直線y=x+1與y軸交于點A,與x軸交于點D,拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點,與x軸交于B、C兩點,且B點坐標為(1,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)動點P在x軸上移動,當△PAE是直角三角形時,求點P的坐標P;
(3)在拋物線的對稱軸上找一點M,使|AM-MC|的值最大,求出點M的坐標.

【答案】分析:(1)易得點A(0,1),那么把A,B坐標代入y=x2+bx+c即可求得函數解析式;
(2)讓直線解析式與拋物線的解析式結合即可求得點E的坐標.△PAE是直角三角形,應分點P為直角頂點,點A是直角頂點,點E是直角頂點三種情況探討;
(3)易得|AM-MC|的值最大,應找到C關于對稱軸的對稱點B,連接AB交對稱軸的一點就是M.應讓過AB的直線解析式和對稱軸的解析式聯立即可求得點M坐標.
解答:解:(1)將A(0,1)、B(1,0)坐標代入y=x2+bx+c
,
解得,
∴拋物線的解折式為y=x2-x+1;(2分)

(2)設點E的橫坐標為m,則它的縱坐標為m2-m+1,
即E點的坐標(m,m2-m+1),
又∵點E在直線y=x+1上,
m2-m+1=m+1
解得m1=0(舍去),m2=4,
∴E的坐標為(4,3).(4分)
(Ⅰ)當A為直角頂點時,
過A作AP1⊥DE交x軸于P1點,設P1(a,0)易知D點坐標為(-2,0),
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得
,
∴a=,
∴P1,0).(5分)
(Ⅱ)同理,當E為直角頂點時,過E作EP2⊥DE交x軸于P2點,
由Rt△AOD∽Rt△P2ED得,
=,
∴EP2=
∴DP2==
∴a=-2=,
P2點坐標為(,0).(6分)
(Ⅲ)當P為直角頂點時,過E作EF⊥x軸于F,設P3(b、0),
由∠OPA+∠FPE=90°,得∠OPA=∠FEP,Rt△AOP∽Rt△PFE,
,
解得b1=3,b2=1,
∴此時的點P3的坐標為(1,0)或(3,0),(8分)
綜上所述,滿足條件的點P的坐標為(,0)或(1,0)或(3,0)或(,0);

(3)拋物線的對稱軸為,(9分)
∵B、C關于x=對稱,
∴MC=MB,
要使|AM-MC|最大,即是使|AM-MB|最大,
由三角形兩邊之差小于第三邊得,當A、B、M在同一直線上時|AM-MB|的值最大.(10分)
易知直線AB的解折式為y=-x+1
∴由,
,
∴M(,-).(11分)
點評:一個三角形是直角三角形,應分不同頂點為直角等多種情況進行分析;
求兩條線段和或差的最值,都要考慮做其中一點關于所求的點在的直線的對稱點.
練習冊系列答案
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