Question

已知點D是等邊△ABC的邊BC上一點，以AD為邊向右作等邊△ADF，DF、AC交于點N．
（1）如圖①，當AD⊥BC時，請說明DF⊥AC的理由；
（2）如圖②，當點D在BC上移動時，以AD為邊再向左作等邊△ADE，DE、AB交于M，試問線段AM和AN有什么數(shù)量關系？請說明你的理由；
（3）在（2）的基礎上，若等邊△ABC的邊長為2，直接寫出DM+DN的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得∠CAD=30°，再求出∠FAN=30°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質證明；
（2）連接AD，根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°可得∠ADE=∠ADF，等邊三角形的三條邊都相等可得AD=AF，再求出∠DAM=∠FAN，然后利用“角邊角”證明△ADM和△AFN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得到AM=AN；
（3）根據(jù)垂線段最短可得DM⊥AB、DN⊥AC時，DM、DN最短，再利用△ABC的面積求出此時DM+DN等于等邊△ABC的高，然后求解即可．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD=

1

2

×60°=30°，
又∵△ADF是等邊三角形，
∴∠DAF=30°，
∴∠DAN=∠FAN=30°，
∴AN⊥DF，
即DF⊥AC；

（2）AM=AN．
理由如下：如圖，連接AD，
∵△ADE、△ADF是等邊三角形，
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AF，
∵∠DAM+∠CAD=60°，
∠FAN+∠CAD=60°，
∴∠DAM=∠FAN，
在△ADM和△AFN中，

∠DAM=∠FAN AD=AF ∠ADE=∠ADF

，
∴△ADM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；

（3）根據(jù)垂線段最短，DM⊥AB、DN⊥AC時，DM、DN最短，
設等邊△ABC的高線為h，
則S_△ABC=

1

2

AC•h=

1

2

AB•DM+

1

2

AC•DN，
∵AB=AC，
∴DM+DN=h，
∵等邊△ABC的邊長為2，
∴h=2×

3

2

=

3

，
∴DM+DN的最小值為

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形三線合一的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質，（3）判斷出DM、DN最短時的情況是解題的關鍵．