Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y=﹣ x+1交y軸于點B，交x軸于點A，拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點B，與直線y=﹣ x+1交于點C（4，﹣2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，橫坐標為m的點M在直線BC上方的拋物線上，過點M作ME∥y軸交直線BC于點E，以ME為直徑的圓交直線BC于另一點D，當點E在x軸上時，求△DEM的周長．
（3）將△AOB繞坐標平面內(nèi)的某一點按順時針方向旋轉90°，得到△A1O1B1 ， 點A，O，B的對應點分別是點A1 ， O1 ， B1 ， 若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

∵直線y=﹣ x+1交y軸于點B，

∴B（0，1），

∵拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點B和點C（4，﹣2）．

∴ ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+1

（2）

如圖1，

∵直線y=﹣ x+1交x軸于點A，

當y=0時，﹣ x+1=0，

x= ，

∴A（ ，0），

∴OA= ，

在Rt△AOB中，

∵OB=1，

∴AB= ，

∴sin∠ABO= ，cos∠ABO= = ，

∵ME∥x軸，

∴∠DEM=∠ABO，

∵以ME為直徑的圓交直線BC于另一點D，

∴∠EDM=90°，

∴DE=MEcos∠DEM= ME，

DM=MEsin∠DEM= ME，

當點E在x軸上時，E和A重合，則m=OA= ，

當x= 時，y=﹣ × + × +1= ；

∴ME= ，

∴DE= = ，DM= = ，

∴△DEM的周長=DE+DM+ME= + + = ；

（3）

由旋轉可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設點A1的橫坐標為x，則點B1的橫坐標為x+1，

∵O1A1⊥x軸，

∴點O1，A1不可能同時落在拋物線上，分以下兩種情況：

①如圖2，當點O1，B1同時落在拋物線上時，

點O1，B1的縱坐標相等，

∴﹣ =﹣ （x+1）2+ （x+1）+1，

解得：x= ，

此時點A1的坐標為（ ， ），

②如圖3，當點A1，B1同時落在拋物線上時，

點B1的縱坐標比點A1的縱坐標大 ，

﹣ =﹣ （x+1）2+ （x+1）+1，

解得：x=﹣ ，

此時A1（﹣ ， ），

綜上所述，點A1（ ， ）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）如圖1，A與E重合，根據(jù)直線y=﹣ x+1求得與x軸交點坐標可得OA的長，由勾股定理得AB的長，利用等角的三角函數(shù)得：sin∠ABO= ，cos∠ABO= = ，則可得DE和DM的長，根據(jù)M的橫坐標代入拋物線的解析式可得縱坐標，即ME的長，相加得△DEM的周長；（3）由旋轉可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設點A1的橫坐標為x，則點B1的橫坐標為x+1，所以點O1 ， A1不可能同時落在拋物線上，分以下兩種情況：①如圖2，當點O1 ， B1同時落在拋物線上時，根據(jù)點O1 ， B1的縱坐標相等列方程可得結論；②如圖3，當點A1 ， B1同時落在拋物線上時，根據(jù)點B1的縱坐標比點A1的縱坐標大 ，列方程可得結論．
【考點精析】利用圓周角定理和旋轉的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．