Question

如圖，點(diǎn)D是⊙O直徑CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，弦AE與BC相交
于點(diǎn)F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：聯(lián)結(jié)BO，……………………………1分
方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，
∵AB＝AO，
∴∠ABO＝∠AOB，………………2分
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線．····················· 3分
方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO為等邊三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝60°，
∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，
又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°， …………………2分
∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線． ……………………………………………………3分
方法三：∵ AB＝AD＝AO，∴點(diǎn)O、B、D在以OD為直徑的⊙A上 …………2分
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線． ……………………………………………………3分
（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF， ……………………·· 4分
∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，
在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，
            又∵CF=9，
∴EF=6．…………………5分

解析