Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：AD⊥CF；
（2）連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG=90°，需證明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易證．
（2）要判斷△ACF的形狀，看其邊有無(wú)關(guān)系．根據(jù)（1）的推導(dǎo)，易證CF=AF，從而判斷其形狀．

解答：（1）證明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．
又∵D為BC的中點(diǎn)，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，

BF=CD ∠CBF=∠ACD=90° CB=AC

，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．

（2）△ACF是等腰三角形，理由為：
連接AF，如圖所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分線，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵CF=AD，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題難度中等，考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)和判定．