(2005•南通)已知關(guān)于x的方程x2-kx+k2+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2,且(2x1+x22-8(2x1+x2)+15=0.
(1)求證:n<0;
(2)試用k的代數(shù)式表示x1;
(3)當(dāng)n=-3時(shí),求k的值.
【答案】分析:(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則△>0,建立關(guān)于n,k的不等式,結(jié)合不等式的性質(zhì),證出結(jié)論;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,把x1+x2=k代入已知條件(2x1+x22-8(2x1+x2)+15=0,即可用k的代數(shù)式表示x1;
(3)首先由(1)知n<-k2,又n=-3,求出k的范圍.再把(2)中求得的關(guān)系式代入原方程,即可求出k的值.
解答:證明:(1)∵關(guān)于x的方程x2-kx+k2+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=k2-4(k2+n)=-3k2-4n>0,
∴n<-k2
又-k2≤0,
∴n<0.

解:(2)∵(2x1+x22-8(2x1+x2)+15=0,x1+x2=k,
∴(x1+x1+x22-8(x1+x1+x2)+15=0
∴(x1+k)2-8(x1+k)+15=0
∴[(x1+k)-3][(x1+k)-5]=0
∴x1+k=3或x1+k=5,
∴x1=3-k或x1=5-k.

(3)∵n<-k2,n=-3,
∴k2<4,即:-2<k<2.
原方程化為:x2-kx+k2-3=0,
把x1=3-k代入,得到k2-3k+2=0,
解得k1=1,k2=2(不合題意),
把x1=5-k代入,得到3k2-15k+22=0,△=-39<0,所以此時(shí)k不存在.
∴k=1.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了一元二次方程的解法、一元二次方程根的定義、一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及分類討論的思想.
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