Question

聰明好學(xué)的小敏查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn)：用不過(guò)圓錐頂點(diǎn)且平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖（1）中曲線CFD為拋物線的一部分．圓錐體SAB的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面圓P于C、D，AB⊥CD，垂足為O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4．
（1）求底面圓的半徑AP的長(zhǎng)及圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)；
（2）當(dāng)以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸建立如圖（2）所示的直角坐標(biāo)系．求過(guò)C、F、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在拋物面CFD中能否截取長(zhǎng)為5.6，寬為2.2的矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合圓錐側(cè)面面積公式，即可求出底面面積AP及圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)；
（2）連接CP，根據(jù)勾股定理，可求出OC和OD的長(zhǎng)度，根據(jù)SA=SB=AB=10可以得到等邊三角形，即可推出OF=OB=9，所以在坐標(biāo)系中就可以求出拋物線的解析式；
（3）本題要進(jìn)行分析討論，當(dāng)長(zhǎng)邊平行于CD時(shí)，x=5.6÷2=2.8時(shí)，y=-2.8²+9＜2.2，（符合題意），當(dāng)短邊平行于CD時(shí)，x=2.2÷2=1.1時(shí)，y=-1.1²+9＞5.6（不合題意，舍去）．
解答：解：（1）設(shè)AP=r，則×2πr×10=50π，
∴r=5．（1分）
設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則nπ×10²÷360=50π
∴n=180°，AP=5
答：AP的長(zhǎng)5，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為180°；（2分）

（2）連接CP，在Rt△COP中，CP=5，OP=4，
∴CO=3（3分）
∵P為圓心，PO⊥CD，
∴CO=DO，即AB垂直平分CD．
∵AB=10，SA=SB=10，
∴△SAB為等邊三角形，
∴∠SAB=∠ABS=60°，
∵FO∥SA，
∴∠FOB=∠OBF=60°，
∴FO=OB=4+5=9，
∴F（0，9），（5分）
因?yàn)锳B垂直平分CD，
∴F為過(guò)C、F、D三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的關(guān)系式y(tǒng)=ax²+9，過(guò)C（-3，0）得
a（-3）²+9=0，
∴a=-1，
∴y=-x²+9；（7分）

（3）當(dāng)x=5.6÷2=2.8時(shí)，y=-2.8²+9＜2.2，（8分）
當(dāng)x=2.2÷2=1.1時(shí)，y=-1.1²+9＞5.6（9分）
∴由矩形與拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，能截取長(zhǎng)為5.6，寬為2.2的矩形（10分）．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理，圓錐側(cè)面積公式等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．