Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，過點(diǎn)B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是

AB

上一點(diǎn)，且

BG

=

1

3

AB

，連接AG交PD于F，連接BF，若PD=6

3

，tan∠BFE=3

3

．
求：（1）∠C的度數(shù)；
（2）QH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OP，易得∠BAG=30°，應(yīng)利用30°的正切值，以及tan∠BFE的值得到用一條線段表示出的AE，EF，EB以及OE，OP等．那么就能表示出∠POA的余弦值，即可求得相應(yīng)的度數(shù)，進(jìn)而求解；
（2）易得PE=3

3

，那么利用特殊的三角函數(shù)值即可求得CP，OP，利用切割線定理可求得CA長(zhǎng)．進(jìn)而求得PQ，QB長(zhǎng)．利用切割線定理可求得QH長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接OP，則∠OPC=90°
∵

BG

=

1

3

AB

∴∠BAF=30°
設(shè)EF=x，則AE=

3

x
∵tan∠BFE=3

3

∴BE=3

3

x
∴cos∠POA=OE：OP=

1

2

∴∠POA=60°
∵CP是切線
∴∠OPC=90°
∴∠C=30°；

（2）∵PD⊥AB，PD=6

3

，
∴PE=3

3

，
∴CP=6

3

，OP=6，
那么AB=2OP=12，
∵PC²=AC×BC，
∴AC=6，
∴BC=18，
∴QB=9，CQ=9

3

，
∴PQ=3

3

，
∵PQ²=QH×QB，
∴QH=3．

點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：利用三角函數(shù)值來判斷角的度數(shù)；垂直于弦的直徑平分弦；切割線定理等．考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)能力．