Question

一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m²，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲、乙兩位同學進行設(shè)計加工方案，甲設(shè)計方案如圖1，乙設(shè)計方案如圖2．你認為哪位同學設(shè)計的方案較好？試說明理由．（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中可保留分數(shù)）

Answer 1

分析：利用正方形的對邊平行．尋找相似三角形，由“相似三角形對應邊的比，等于對應邊上高的比”的性質(zhì)，列出等量關(guān)系，計算正方形的邊長x、y，比較大小，選擇合理方案．

解答：解：由AB=1.5m，S_△ABC=1.5m²，可得BC=2m，
由圖1，若設(shè)甲設(shè)計的正方形桌面邊長為xm，
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴

x

AB

=

BC-x

BC

，即

x

1.5

=

2-x

2

，
∴3-1.5x=2x，x=

3

3.5

=

6

7

，
由圖2，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高，
BH交DE于P，交AC于H．
由AB=1.5m，BC=2m，
得AC=

AB2+BC2

=

1.52+22

=2.5（m），
由AC•BH=AB•BC可得，
BH=

AB•BC

AC

=

1.5×2

2.5

=1.2m，
設(shè)乙設(shè)計的桌面的邊長為ym，
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴

BP

BH

=

DE

AC

，
即

1.2-y

1.2

=

y

2.5

，解得y=

30

37

，
∵

6

7

=

30

35

＞

30

37

，
∵x²＞y²，
∴甲同學設(shè)計的方案較好．

點評：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．