Question

已知：如圖，AB為⊙O的弦，過點O作AB的平行線，交⊙O于點C，直線OC上一點D滿足∠D=∠ACB．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑等于4，tan∠ACB=

4

3

，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)該是相切，連接OB證OB⊥BD即可．本題的基本思路是通過平行線，弦切角定理，等邊對等角，來得出相等的角，然后將這些相等的角進(jìn)行置換，最終轉(zhuǎn)換到一個三角形中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和來求出度數(shù)．從而得出∠OBD=90°的結(jié)論．
（2）有了∠ACB的正切值也就有了∠D的正切值，那么可在直角三角形OBD中，有半徑的長，有∠D的正切值，可用正弦函數(shù)求出OD的長，也就求出了CD的長．

解答：解：（1）直線BD與⊙O相切．
證明：如圖，連接OB．
∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，
∴∠2=∠CBD，
∵AB∥OC，
∴∠2=∠A，
∴∠A=∠CBD．
∵OB=OC，
∴∠BOC+2∠3=180°．
∵∠BOC=2∠A，
∴∠A+∠3=90°．
∴∠CBD+∠3=90°．
∴∠OBD=90°．
∴直線BD與⊙O相切．

（2）∵∠D=∠ACB，tan∠ACB=

4

3

，
∴tanD=

4

3

．
∵∠OBD=90°，OB=4，tanD=

4

3

，
∴sinD=

4

5

，OD=

OB

sinD

=5．
∴CD=OD-OC=1．

點評：本題考查的是切線的判定以及解直角三角形，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．