Question

如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B．P是射線BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，在射線CA上截取CD=CP，連接PD．設(shè)BP=t．
（1）t為何值時(shí)，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合？
（2）設(shè)△PCD與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后在Rt△BCP中，解直角三角形求出BC，CP的長(zhǎng)度；進(jìn)而利用關(guān)系式AB=BC+CD，列方程求出t的值；
（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，分為四個(gè)階段，需要分類(lèi)討論：
①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如題圖所示，重合部分為△PCD；
②當(dāng)＜t≤4時(shí)，如答圖1所示，重合部分為四邊形ACPE；
③當(dāng)4＜t≤時(shí)，如答圖2所示，重合部分為△ACE；
④當(dāng)t＞時(shí)，無(wú)重合部分．
解答：解：（1）在一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5．
在Rt△BCP中，CP=PB•sin∠ABO=t，BC=PB•cos∠ABO=t，
∴CD=CP=t．
若點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合，則BC+CD=AB，即t+t=5，
解得：t=，
∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合．

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，t=4；
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，由BC=BA，即t=5，得t=．
點(diǎn)P在射線BO上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：
①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如題圖所示：
此時(shí)S=S_△PCD=CP•CD=•t•t=t²；
②當(dāng)＜t≤4時(shí)，如答圖1所示，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E．

BD=BC+CD=t+t=t，
過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，則ND=BD•sin∠ABO=t•=t，BN=BD•cos∠ABO=t•=t．
∴PN=BN-BP=t-t=t，ON=BN-OB=t-4．
∵ND∥x軸，
∴，即，得：OE=28-7t．
∴AE=OA-OE=3-（28-7t）=7t-25．
故S=S_△PCD-S_△ADE=CP•CD-AE•ON=t²-（7t-25）（t-4）=t²+28t-50；
③當(dāng)4＜t≤時(shí)，如答圖2所示，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E．

AC=AB-BC=5-t，
∵tan∠OAB==，∴CE=AC•tan∠OAB=（5-t）×=-t．
故S=S_△ACE=AC•CE=（5-t）•（-t）=t²-t+；
④當(dāng)t＞時(shí)，無(wú)重合部分，故S=0．
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了典型的運(yùn)動(dòng)型綜合題，且計(jì)算量較大，有一定的難度．解題關(guān)鍵在于：一，分析點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，區(qū)分不同的階段，分類(lèi)討論計(jì)算，避免漏解；二，善于利用圖形面積的和差關(guān)系計(jì)算所求圖形的面積；三，認(rèn)真計(jì)算，避免計(jì)算錯(cuò)誤．