Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B為正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y=（m≠0）的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC平行于x軸，過點(diǎn)B作BC平行于y軸，AC與y軸交于點(diǎn)M，BC與x軸交于點(diǎn)N，若∠BAC=60°，AB=4，
（1）求k與m的值；
（2）將一把三角尺的直角頂點(diǎn)放在原點(diǎn)O處，繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊分別交射線CA、射線BC于點(diǎn)P、Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，PQ的長為L，當(dāng)點(diǎn)p在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求L與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)△PQC的面積為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖形的對(duì)稱性可知點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵∠BAC=60°，AB=4，
∴∠BON=60°，OB=AB=2，
∴在△BON中，ON=OBcos60°=1，BN=OBsin60°=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-），
∴k×1=，=，
解得k=，m=；

（2）∵∠QON+∠NOP=90°，∠MOP+∠NOP=90°，
∴∠QON=∠MOP，
又∵∠OMP=∠ONQ=90°，
∴△OMP∽△OQN，
∴=，
即=，
解得QN=x，
在Rt△PCQ中，L===；
∴L與x的函數(shù)關(guān)系式為L=；

（3）S_△PQC=PC×CQ=（1-x）（x+）=，
整理得x²+2x=0，
解得x₁=0或x₂=-2，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-）或（-2，-）．
分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以O(shè)B=2，然后在△BON中，求出ON、BN的長度，坐標(biāo)可得，再代入兩函數(shù)解析式即可求出k、m的值；
（2）先證明△OMP與△OQN相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，用x表示出ON，在△PQC中，利用勾股定理即可得到L與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用三角形的面積公式，△PQC的面積=PC×CQ，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出x的值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，難度較大．