Question

（2009•通州區(qū)一模）已知：如圖，一等邊三角形ABC紙片的邊長(zhǎng)為2a，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，設(shè)EF=x．
（1）用x的代數(shù)式表示△AEF的面積；
（2）將△AEF沿EF折疊，折疊后與四邊形BCFE重疊部分的面積為y，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得大等邊三角形的高，進(jìn)一步求得其面積．再根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，求得△AEF的面積；
（2）此題應(yīng)分兩種情況考慮：當(dāng)折疊后△AEF的頂點(diǎn)A落在四邊形BCFE內(nèi)或BC邊上時(shí)，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積；當(dāng)疊后△AEF的頂點(diǎn)A落在四邊形BCFE外點(diǎn)A^′處時(shí)，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積減去A′MN的面積，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：（1）在等邊△ABC中，
作AD⊥BC于D，交EF于H，
∴BD=DC=．
又∵tan∠ABD=tan60°=，
∴AD=a．（1分）
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴=，=．
∴AH=x．（2分）
∴S_△AEF=AH×EF．
S_△AEF=x²=x²．（3分）

（2）①當(dāng)折疊后△AEF的頂點(diǎn)A落在四邊形BCFE內(nèi)或BC邊上時(shí)
y=x²（0＜x≤a）．（4分）
②當(dāng)折疊后△AEF的頂點(diǎn)A落在四邊形BCFE外點(diǎn)A^′處時(shí)，

A′F交BC于M，A′E交BC于N，連接AA′交EF于H，交BC于D，

∴=
∴=，
又∵AH=A′H，
∴=，
∴=，
∴=（5分）
=，
∴S_△A’_MN=．
∴S_{四邊形MFEN}=x²-．（6分）
∴y=-（a＜x＜2a）．（7分）
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)．特別注意第2小題的兩種情況．